Il peut être particulièrement intéressant d'afficher et d'étudier les nombres premiers, ces entiers naturels supérieurs à 1 qui ne possèdent exactement que deux diviseurs positifs distincts : le nombre 1 et eux-mêmes. Depuis l'Antiquité, ces nombres occupent une place essentielle en mathématiques, car ils constituent les véritables « briques de base » de tous les nombres entiers. En effet, tout entier supérieur à 1 peut être décomposé de manière unique en un produit de nombres premiers, propriété fondamentale connue sous le nom de théorème fondamental de l'arithmétique. Malgré la simplicité de leur définition, leur répartition demeure irrégulière et continue encore aujourd'hui de faire l'objet de nombreuses recherches en théorie des nombres et en cryptographie.
En programmation, les nombres premiers constituent également un excellent exercice pour mettre en pratique les opérations arithmétiques, les boucles, les tests conditionnels ainsi que les fonctions de calcul. Plusieurs méthodes permettent de déterminer si un entier est premier, allant de l'approche naïve consistant à tester tous les diviseurs possibles jusqu'à des algorithmes beaucoup plus sophistiqués comme le crible d'Ératosthène ou les tests probabilistes utilisés pour les très grands nombres. Le programme présenté ici adopte une méthode simple et facile à comprendre : il compte le nombre de diviseurs d'un entier en limitant les essais jusqu'à sa racine carrée, ce qui améliore déjà considérablement les performances par rapport à une recherche exhaustive.
À l'aide du code source C++ suivant, vous pourrez générer la liste complète des nombres premiers inférieurs à 1000 et déterminer combien d'entre eux existent dans cet intervalle. Cet exemple illustre une implémentation claire et pédagogique de la recherche de nombres premiers tout en montrant comment organiser le programme en plusieurs fonctions spécialisées, chacune ayant un rôle bien précis dans le calcul et la présentation des résultats :
- #include <iostream>
- #include <math.h>
-
- int NombreFacteur(int N) {
- int Count=2,I;
- double Racine=sqrt(N);
- for(I=2; I<=Racine;I++) if(N % I == 0) Count++;
- return Count;
- }
-
- int Premier(int N) {
- return (NombreFacteur(N)==2);
- }
-
- int NombrePremierPlusPetit(int N) {
- int Count=0,I;
- for(I=2; I<N; I++) if(Premier(I)) Count++;
- return Count;
- }
-
- int main() {
- std::cout << "Liste des nombres premier avant 1000: " << std::endl;
- for(int I=2; I<1000; I++) if(Premier(I)) std::cout << I << " ";
- std::cout << std::endl << "Nombre de nombre premier avant 1000: " <<
- NombrePremierPlusPetit(1000);
- return 0;
- }
on obtiendra le résultat suivant :
Liste des nombres premier avant 1000:2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997
Nombre de nombre premier avant 1000: 168