Décomposition de Schur d'une matrice de Hessenberg supérieure réelle
La décomposition de Schur est une représentation de la matrice A sous la forme A = ST T S, où S est une matrice orthogonale (matrice des vecteurs de Schur) et T une matrice quasi-triangulaire supérieure, c'est-à-dire une matrice triangulaire dont la diagonale principale est composée de blocs de dimensions 1x1 et 2x2.
Cet algorithme effectue la décomposition de Schur de la matrice sous forme de Hessenberg supérieure à l'aide d'un algorithme QR à décalages multiples. Cet algorithme est l'analogue, pour les matrices par blocs, de l'algorithme QR classique à double décalage. Comme tout algorithme pour matrices par blocs, il nécessite un paramétrage pour optimiser ses performances.
Vous pouvez ajuster la valeur de NS (paramètre interne de la sous-routine InternalSchurDecomposition) en définissant le nombre de décalages par itération. L'augmentation du nombre de décalages améliore les performances de l'algorithme, qui atteignent leur maximum entre NS=4 et NS=16. Au-delà de NS=16, l'algorithme ralentit considérablement. Les intervalles peuvent varier selon les systèmes, mais le comportement reste globalement le même. La valeur par défaut de NS offre de bonnes performances sur la plupart des systèmes, mais si les performances sont critiques, il est conseillé de calibrer ce paramètre. Il convient de noter que la valeur optimale de ce paramètre dépend à la fois des caractéristiques du système et des propriétés des matrices traitées.
La sous-routine UpperHessenbergSchurDecomposition effectue la décomposition de Schur. Elle renvoie les matrices T et S. Généralement, il est nécessaire de connaître la structure par blocs de la matrice T. Celle-ci peut être facilement identifiée : puisque tous les éléments situés sous les blocs sont nuls, les éléments a[i+1,i] égaux à 0 indiquent la limite des blocs.
Algorithme implémenté à partir de la sous-routine DHSEQR (bibliothèque LAPACK 3.0).