Fonctions exponentielles et logarithmiques

Les fonctions exponentielles occupent une place centrale en mathématiques, car elles décrivent de nombreux phénomènes naturels et scientifiques. Leur forme générale est f(x)=a⋅b^x, où a a est un coefficient réel et b une base strictement positive différente de 1. Lorsque b > 1, on observe une croissance rapide, comme dans les cas de population ou de capital avec intérêts composés. À l'inverse, si 0<b<1, on a une décroissance, typique de la désintégration radioactive ou de l'amortissement mécanique. Leur domaine est l'ensemble des réels, mais leur image est strictement positive, ce qui signifie qu'elles ne touchent jamais l'axe des abscisses. Un cas particulier fondamental est la fonction exponentielle en base e, notée e^x, intervenant en analyse et en calcul différentiel. Son importance vient de la constance de sa dérivée, ce qui en fait une fonction unique.

Les fonctions logarithmiques, quant à elles, sont les inverses des fonctions exponentielles et jouent un rôle complémentaire. Elles permettent de résoudre des équations où l'inconnue apparaît en exposant, en "ramenant" la puissance au premier plan. La fonction logarithme en base b, notée log_b(x), est définie uniquement pour x<0 et prend toutes les valeurs réelles comme image. Elle obéit à des règles précises : log_b(xy)=log_b(x)+logb(y), log_b(x^k)=k⋅log^b(x). Ces propriétés permettent de transformer des produits en sommes et des puissances en multiplications, ce qui simplifie considérablement les calculs. Parmi elles, le logarithme népérien ln(x), basé sur e, est le plus utilisé en mathématiques avancées. De même, le logarithme décimal log(x), en base 10, est très pratique en sciences appliquées.

L'étude conjointe des fonctions exponentielles et logarithmiques offre de puissants outils de modélisation. Elles apparaissent dans des domaines variés : croissance démographique, économie, biologie, informatique et même en acoustique ou en optique. Grâce à leur relation d'inverses, elles permettent d'exprimer des phénomènes de croissance et d'atténuation de manière symétrique et intuitive. Résoudre une équation exponentielle revient souvent à appliquer un logarithme, tandis qu'une équation logarithmique se traite par passage à l'exponentielle. Ces deux familles de fonctions sont continues et monotones, ce qui les rend prévisibles et faciles à analyser graphiquement. Elles sont aussi liées au calcul intégral et différentiel, car la dérivée de e^x est e^x, et celle de ln(x) est 1/x. Leur utilité dépasse largement les mathématiques pures et touche directement la compréhension du monde réel.

Résoudre par x :

1) 10^2x = 10^2,78

2) e^7x=e^13,3

3) x = log(2²⁰⁸) × 3¹⁶³)

4) x = log(2⁴⁶³) - log(2⁴⁰⁸)

5) x = ln(e²⁸⁴)

6) x = ln(8³⁷⁷)

7) x = log[3²⁶³/2³⁹⁴]

8) x = log[(12 × 3²²⁷) / (31 × 2³⁷¹)]

9) x = 1og₈(58)

10) x = log₇(33¹³⁹)

11) x = log_1,9[(2³⁷⁷ ⋅ 3²⁸⁴)/5¹⁶³]

12) 7^x = 33

13) 8^x = ln(1200)

14) e^0,31x = 12

15) 7^1,39x = 27

16) 12 ⋅ 10^7x = 166 800

17) 31 ⋅ e^8x = 505 300

18) 5 ⋅ 7^0,58x = 462

19) ln(7x + 7 = ln(2^x+27)

20) 12 ⋅ 3^14x+33 = 341 ⋅ 2^2x+58

21) log₄(14x + 5) = 2

22) log(14x²) - log(4x) = 4 ⋅ log(2)

Voici comment trouver la valeur du paramètre k tel que, pour tout nombre réel x, on ait :

23) 35^x = e^{k ⋅ x}

24) 58^x = 10^{k ⋅ x}

25) 33^x = 8^{k ⋅ x}